গণিতের সমান্তর ধারা সুত্র -সমান্তর ধারা সুত্রের সমস্যা ও সমাধান

সমান্তর ধারা

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য (বিয়োগফল) সমান হলে তাকে সমান্তর ধারা বলে। সমান্তর ধারা সসীম বা অসীম যেকোনোটি হতে পারে।
অনুক্রম:
কতকগু‌লো সংখ্যা বা রা‌শিকে একটি নি‌র্দিষ্ট নিয়মানুসা‌রে ধারাবাহ‌তক সাজা‌নো‌কে অনুক্রম বলে।

পদ:
অনুক্রমের প্রতিটি সংখ্যা বা রাশিকে পদ ব‌লে।
ধারা:
অনুক্রমের পদ বা সংখ্যাগুলোর সমষ্টিকে ধারা বলে।
সসীম বা শান্ত ধারা :
কোন ধারার পদ সংখ্যা সসীম হলে তাকে সসীম বা সান্ত ধারা বলে।
অসীম ধারা :
কোন ধারার পদ সংখ্যা অসীম হলে তাকে অসীম ধারা বলে।

গু‌ণোত্তর ধারা : যে ধারার কোন প‌দের সা‌থে তার পরবর্তী প‌দের অনুপাত সর্বদাই সমান হয় তাকে গুণোত্তর ধারা বলে।
প্র‌য়োজনীয় সূত্রাবলি :
সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বা r তম পদ : প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হ‌লে, r তম পদ = a+(r-1)d
তাহলে সংজ্ঞানুসারে, ধারাটির
২য় পদ $= a + d$
৩য় পদ $= a + 2d$
৪র্থ পদ $= a + 3d$
সুতরাং ধারাটি $a + (a + d) + (a+2d) + (a+3d) + . . . . . . . . . . . . .$

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি : একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হ‌লে, তার n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S = n{2a+(n-1)d}/2
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, S = n(n+1)/2
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ব‌র্গের সমষ্টি, S = n(n+1)(2n+1)/6
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি, S = {n(n+1)/2}^2
গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ বা r তম পদ : কোন ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে, r তম পদ = aq^(r-1)
গুণোত্তর ধারার n সখ্যক পদের সমষ্টি, S = a(1-q^n)/(1-q); যেখা‌নে q1

সমান্তর ধারা কতগুলি প্র‌শ্ন উত্তর (সমাধান সহ ):

একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
n তম পদ $= a + (n - 1)d$
$= 5 + (n - 1)3$
$= 5 + 3n - 3$
$= 2 + 3n$
Ans. $2 + 3n$

একটি গু‌ণোত্তর অনুক্র‌মের দ্বিতীয় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হ‌লে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক। 1/2
খ। – 1/2
গ। 1/4
ঘ। – 1/4 (Ans)
সমাধান : n তম পদ = aq^(n-1)
দ্বিতীয় পদ = aq^(2-1) = aq = -48
a = -48/q ~~~~~ (i)
অাবার, পঞ্চম পদ = aq^(5-1) = 3/4
বা, aq^4 = 3/4
বা, (-48/q)q^4=3/4
বা, -48 q^3 = 3/4
বা, q^3 = – 3/192
বা, q^3 = (-1/4)^3
বা, q = -1/4
অর্থাৎ সাধারণ অনুপাত – 1/4
২। 1^2+2^2+3^2+…..+x^2 এর মান কত?
ক। {x(x+1)(2x+1)}/6 (Ans)
খ। x(x+1)/2
গ। x
ঘ। {x(x+1)/2}^2

1^2+2^2+3^2+…..+50^2 = কত?

ক। 35725
খ। 42925 (Ans)
গ। 45500
ঘ। 47225
সমাধান: S = {n(n+1)(2n+1)}/6
= {50(50+1)(2×50+1)}/6
= 50x51x101/6
= 42925

log2+log4+log8+ ….. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সম‌ষ্টি কত?

ক। 45log2
খ। 55log2 (Ans)
গ। 65log2
ঘ। 75log2
সমাধান: log2+log4+log8+ …..
= log2+log2^2+log2^3+ ….+log2^10
= 1log2+2log2+3log2+ …..+10log2
= (1+2+3+…….+10)log2
= {10(10+1)/2}log2
= 55log2